Método de Igualación

Método de Igualación

El Método de Igualación es una de las formas o métodos mas prácticos para resolver los Sistemas de Ecuaciones Lineales. A diferencia del Método de Reducción o del Método de Sustitución. El Método de Igualación despeja todas las Ecuaciones del Sistema Lineal. Lo que lo convierte en un método fácil de comprender.

¿Que es el Método de Igualación?

El Método de Igualación es el despeje de una incógnita en común del Sistema Lineal. Lo que permite llegar a una solución.

El Método de Igualación es básicamente un despeje de variables. En el cual se busca despejar una misma variable en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal. El objetivo de esto es reducir al máximo el numero de incógnitas.

En términos simples, lo que se hace es despejar ambas Ecuaciones del Sistema Lineal y después eliminar las variables en común. Al final obtenemos una Ecuación Lineal con una incógnita, la cual resolvemos mediante el despeje de variables. Este es uno de los métodos mas populares para resolver los Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Como aplicar el Método de Igualación.

Para aplicar el Método de Igualación se debe despejar una de las Incógnitas presentes en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal. El objetivo de este proceso es eliminar una de las incógnitas. Y mediante la sustitución de valores encontrar la respuesta de ambas incógnitas del Sistema Lineal.

Método de Igualación paso a paso.

Los pasos para resolver un Sistema Lineal mediante el Método de Igualación entonces son:

  • Ordenar las Ecuaciones presentes en el Sistema Lineal.
  • Despejar una incógnita común en las Ecuaciones que componen el Sistema Lineal.
  • Se igualan las 2 Ecuaciones Resultantes.
  • Despejar la Ecuación con una incógnita resultante y obtener el valor de la primera incógnita.
  • Sustituir el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las Ecuaciones del Sistema Lineal.
  • Comprobar los resultados obtenidos mediante la igualdad.
Método de Igualación

Figura 1 – Sistema Lineal 2X2 – Método de Igualación

En la Figura 1 se muestra un Sistema Lineal 2×2 que utilizaremos para explicar el Método de Igualación. Recuerda que el primer paso en todo Sistema Lineal es ordenar las Ecuaciones. En este caso las Ecuaciones del Sistema Lineal ya estaban ordenadas.

Despeje de la misma incógnita en ambas Ecuaciones.

Para resolver un Sistema Lineal mediante el Método de Igualación debemos despejar la misma incógnita en todas las Ecuaciones del Sistema Lineal. Es importante hacer notar que no llegaremos a la respuesta de ninguna incógnita con este paso. Pero esto nos permitirá igualar después las Ecuaciones Resultantes y eliminar una de las incógnitas.

Se puede elegir cualquiera de las incógnitas “X” o “Y” para despejar. Pero la seleccionada debe ser despejada en todas las Ecuaciones del Sistema Lineal. Lo ideal es hacerlo por la Incógnita mas sencilla de despejar

En este ejemplo despejaremos la incógnita “X”. Por lo que ambas Ecuaciones del Sistema Lineal quedan de la siguiente forma:

Método de Igualación

Figura 2 – Despeje de “X” – Método de Igualación

En la Figura 2 se muestra el despeje de “X” en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal. Como se puede observar el resultado en este ejemplo son 2 Ecuaciones Resultantes, y una de ellas con estilo de fracción.

Igualación entre las Ecuaciones Resultantes.

Este paso es el que da el nombre al Método de Igualación. Para obtener el primer valor de nuestro Sistema Lineal debemos igualar ambas Ecuaciones Resultantes. Por lo que obtendremos una igualdad como la siguiente:

Método de Igualación

Figura 3 – Igualdad de Ecuaciones Resultantes

En la Figura 3 se muestra la Igualdad entre las Ecuaciones Resultantes. El objetivo ahora es dejar de un lado de la Ecuación las Incógnitas y del otro lado los números.

En este una de las Ecuaciones Resultantes tienen un denominador. Si ambas Ecuaciones tuvieran el mismo denominador podríamos eliminar multiplicando ambos lados de la igualdad por dicho denominador. Sin embargo, en este caso basta con pasar el denominador al otro lado de la igualdad a multiplicar. Por lo que despejaremos primero de derecha a izquierda.

Método de Igualación

Figura 4 – Despeje de denominador – Método de Igualación

En la Figura 4 se muestra el despeje del denominador de la segunda Ecuación. El cual pasa a multiplicar al otro lado de la igualdad. Por lo que queda:

Método de Igualación

Figura 5 – Despeje de denominador – Método de Igualación

Ahora debemos pasar los números a un lado de la igualdad y dejar a las Incógnitas del otro lado. En este caso pasaremos los números al lado izquierdo y las incógnitas al lado derecho.

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Figura 6 – Se mueven los números a un lado y letras al otro lado

En la Figura 6 se muestra el desplazamiento de los números a un lado de la igualdad y de las incógnitas al otro lado de la Ecuación. En este caso el “20” pasa a restar al lado izquierdo de la igualdad. Mientras que el “-6Y” pasa a sumar al otro lado de la igualdad. Es importante siempre respetar el orden. Recuerda que los elementos desplazados van después de los originales.

Ahora podemos convertir esta Ecuación en una Ecuación Lineal con una incógnita y resolverla. “Y” se puede sumar con “6Y”. Lo que da resultado “7Y”, mientras que del otro lado 27-20 = 7.

Se obtiene una Ecuación Lineal con una incógnita

Figura 7 – Se obtiene una Ecuación Lineal con una incógnita

Despeje de la Ecuación Lineal con una incógnita resultado.

El Método de Igualación ahora nos ha devuelto una Ecuación Lineal con una incógnita. (7=7Y) La cual podemos resolver mediante el despeje de variables. Como el 7 se encuentra multiplicando a la incógnita “Y” pasara a dividir al otro lado. (Figura 8)

Método de Igualación

Figura 8 – Despeje de Ecuación Lineal simple

Por lo que podemos afirmar que el valor de la Incógnita “Y” es de 1.

Encontrar el valor de la segunda incógnita.

Ahora que ya conocemos el valor de una de las incógnitas del Sistema Lineal podemos resolverlo de forma fácil. Para encontrar el valor de la segunda incógnita se debe reemplazar el valor de “Y” en cualquiera de las Ecuaciones del Sistema Lineal. En este ejemplo utilizaremos la primera Ecuación del Sistema Lineal.

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Figura 9 – Reemplazo de “Y” en primera Ecuación del Sistema Lineal

En la Figura 9 se muestra la sustitución de la variable “Y” en la primera Ecuación del Sistema Lineal. Lo que da como resultado una Ecuación Lineal con una incógnita. La cual resolvemos con el despeje de variables.

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Figura 10 – Despeje de Variable “X”

En la Figura 10 se muestra el despeje de “X”. En este caso el “+2” al pasar al otro lado de la igualdad pasa a restar. Al resolver la operación aritmética (9-2=7) encontramos el valor de “X”. En este caso podemos afirmar que “X” es igual a 7.

Por lo que la respuesta de nuestro Sistema Lineal es: X=7 y Y=1.

Respuesta del Sistema Lineal

Figura 10 – Respuesta del Sistema Lineal

Como comprobar el resultado del Método de Igualación.

Para comprobar el Método de Igualación se deben sustituir los valores de ambas incógnitas en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal. Si las respuestas son correctas se deben cumplir las igualdades de cada Ecuación. En el ejemplo anterior al sustituir los valores de las incógnitas obtenemos;

Método de Igualación

Figura 11 – Comprobación de respuestas del Método de Igualación

Como queda demostrado en la Figura 11, ambas respuestas obtenidas por el Método de Igualación son correctas. En ambas Ecuaciones del Sistema Lineal se cumplen las igualdades. Por lo que se puede afirmar que las respuestas del Sistema Lineal son correctas.

Ejercicios para aplicar el Método de Igualación.

Ahora que ya sabemos como aplicar el Método de Igualación para resolver un Sistema Lineal te dejamos algunos ejercicios para que practiques. Tranquilo, todos los ejercicios tienen su respuesta y explicación paso a paso.

Ejercicio #1 para aplicar el Método de Igualación.

Resuelve el siguiente Sistema de Ecuación Lineal mediante el Método de Igualación:

Ver respuesta del Ejercicio #1
La respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #1 es:

Ver explicación de como resolver el Ejercicio #1 aplicando el Método de Igualación

Paso 1: El primer paso para resolver un Sistema Lineal mediante el Método de Igualación es verificar que las Ecuaciones del Sistema Lineal se encuentren ordenadas. En este caso ambas Ecuaciones se encuentran ordenadas.

Paso 2: El siguiente paso para aplicar el Método de Igualación es despejar la misma incógnita en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal. Podemos elegir entre despejar “X” o “Y”. En este caso despejaremos “Y”.

 

Paso 3:  El siguiente paso es igualar ambas Ecuaciones Resultantes.

 

Paso 4: Ahora debemos resolver la igualdad de las Ecuaciones Resultantes. Para ello debemos despejar el denominador de la segunda Ecuación resultante. En este caso el “2” pasa a multiplicar al otro lado de la igualdad.

Paso 5: Se deben pasar todos los números a un lado de la igualdad y todas las letras al otro lado. En este caso el “-4Y” pasa a sumar al otro lado. Mientras que el “6” al ser positivo pasa a restar al otro lado de la igualdad.

Paso 6: Ahora solo resolvemos las operaciones aritméticas y obtendremos el valor de la primera incógnita:

En este caso el valor de la Incógnita “Y” es igual a 1.

Paso 7: Ahora que ya tenemos el valor de la primera incógnita podemos encontrar el valor de “X”. Para ello solo sustitumos el valor de “Y” en cualquiera de las Ecuaciones del Sistema Lineal. En este caso usaremos la primera Ecuación (X+2Y=4).

En este caso el valor de la Incógnita “X” es igual a 2.

Por lo que podemos afirmar que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #1 mediante el Método de Igualación es:

Ejercicio #2 para aplicar el Método de Igualación.

Resuelve el siguiente Sistema Lineal usando el Método de Igualación:

 

Ver respuesta del Ejercicio #2
La respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #2 es:

 

Ver explicación de como resolver el Ejercicio #2 utilizando el Método de Igualación

Paso 1: El primer paso en todo Sistema Lineal es verificar que las Ecuaciones se encuentren ordenadas. En este caso ambas Ecuaciones del Sistema Lineal están ordenadas.

Paso 2: Para resolver este Sistema Lineal mediante el Método de Igualación se debe despejar la misma incógnita en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal. Podemos elegir entre cualquiera de las incógnitas. En este caso despejaremos “X” para encontrar “Y”.

Paso 3: Ahora debemos igualar ambas Ecuaciones resultantes.

Paso 4: Para poder resolver la igualdad debemos despejar primero el denominador presente en la primera Ecuación. En este caso el “2” pasa a multiplicar al otro lado de la igualdad.

Paso 5: Ahora debemos pasar todos los números a un lado de la igualdad y las letras al otro lado. En este caso el 22 pasa a restar al otro lado. Mientras que “-Y” pasara a sumar al otro lado de la igualdad.

Paso 6: Ahora solo se resuelven las operaciones aritméticas y se despeja la Ecuación Lineal con una incógnita resultante para obtener el valor de nuestra primera variable.

Recuerda que un numero negativo dividido entre otro numero negativo da como resultado un numero positivo.

En este caso afirmamos que el valor de “Y” es 3.

Paso 7: Ahora que ya tenemos el valor de la primera incógnita podemos encontrar el valor de “X”. Para conseguirlo solo sustitutmos el valor de “Y” en cualquier Ecuación del Sistema Lineal. En este caso usaremos la primera Ecuación.

En este caso afirmamos que el valor de “X” es 2.

Por lo que afirmamos que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #2 aplicando el Método de Igualación es;

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