Método de Reducción

Método de Reducción

El Método de Reducción es uno de los métodos mas utilizados para resolver los Sistemas de Ecuaciones Lineales. Su aplicación puede resultar difícil al inicio. Sin embargo en la practica es uno de los métodos mas rápidos de aplicar. A continuación te explicamos paso a paso como aplicar el Método de Reducción para resolver un Sistema Lineal.

¿Que es el Método de Reducción?

El Método de Reducción o también llamado Método de Eliminación consiste en realizar una relación aritmética entre las Ecuaciones Lineales presentes en el Sistema Lineal. En términos simples consiste en sumar y restar las Ecuaciones del Sistema Lineal. El objetivo de este proceso es reducir al máximo las variables. Y obtener el valor de al menos una de las incógnitas.

Dicho proceso siempre se consigue mediante la simplificación o reducción de valores. Sin embargo en algunos casos es necesario multiplicar las Variables para conseguir una reducción.

Como aplicar el Método de Reducción.

Para resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales mediante el Método de Reducción se deben ubicar el numero de Incógnitas. El Método de Reducción nos permite simplificar cualquiera de las incógnitas del Sistema Lineal. Por lo que lo ideal es iniciar desde la incógnita mas simple de reducir.

Método de Reducción mediante simplificación de variables.

Esta variante del Método de Reducción se puede aplicar a Sistemas Lineales con una incógnita en común con signos opuestos. En el mejor de los escenarios se nos plantearan dos Ecuaciones Lineales con una Incógnita en común positiva y otra negativa. A estas incógnitas se las llama Incógnitas reducibles o simplificables.

Identificar la Variable a reducir.

El primer paso entonces para aplicar el Método de Reducción a un Sistema de Ecuaciones Lineales es seleccionar la Variable a reducir. Ademas también debemos seleccionar la Ecuación Lineal a utilizar para la reducción.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Figura 1 – Sistema de Ecuaciones Lineales

En la Figura 1 se puede observar un Sistema de Ecuaciones Lineales 2×2. En este ejemplo la variable mas fácil de reducir es la Incógnita “X”. Si observamos bien, en la primera Ecuación Lineal tenemos una “-X”. Mientras que en la segunda Ecuación hay un “+X”. Por lo que en este ejemplo ambas “X” se simplifican. Para completar el proceso es necesario sumar ambas “Y” y ambos números al otro lado de la igualdad. (Figura 2)

Método de Reducción

Figura 2 – Método de Reducción de un Sistema Lineal

Encontrar el valor de la Ecuación Lineal resultado.

El Método de Reducción ahora nos ha entregado una Ecuación Lineal con una incógnita. La que se resuelve mediante el método del despeje de variables. En este caso la Ecuación Lineal resultado es 2Y = -2.

Método de Reducción

Figura 3 – Despeje de Incógnita Y

Al despejar la Ecuación Lineal resultado del Método de Reducción. Se obtiene el valor de una de las Incógnitas del Sistema Lineal (Figura 3). En este caso el valor la incógnita Y es -1.

Encontrar el valor de la otra Incógnita del Sistema Lineal.

Ahora que ya tenemos el valor de una de las Variables del Sistema Lineal es fácil encontrar las otras incógnitas. Para conseguirlo únicamente se deben sustituir los valores en cualquiera de las Ecuaciones Lineales del Sistema Lineal. En este caso utilizaremos la primera Ecuación Lineal del sistema. (-X+Y = 2).

Método de Reducción

Figura 4 – Despeje de X – Método de Reducción

En la Figura 4 se muestra el Despeje de la variable “X” tras sustituir el valor de la Variable Y en la primera Ecuación Lineal. Es importante tener cuidado con los signos aritméticos.

Recordemos que signos iguales se suman y que signos opuestos se restan. Ejemplo + y + da +, – y – da +. Mientras que + y – dará –

Si observamos bien el resultado obtenido es -X = 3. Las Incógnitas no pueden quedar como negativos. Por lo que para resolver el problema se deben multiplicar ambos extremos de la igualdad por (-1). De esta forma se puede eliminar el negativo de la Incógnita.

Método de Reducción

Figura 5 – Eliminar el negativo de una variable

De forma que la incognita “X” tiene un valor de -3. Al final podemos afirmar que la respuesta de nuestro Sistema Lineal mediante el Método de Reducción es “X” = -3 y “Y” = -1.

Método de Reducción mediante multiplicación variables.

Esta variante es útil cuando en un Sistema de Ecuaciones Lineales ninguna de las Variables puede reducirse en primera intención. En estos casos es necesario multiplicar una de las Ecuaciones Lineales para conseguir reducir al menos una de las incógnitas.

Método de Reducción

Figura 6 – Sistema de Ecuaciones Lineales

En la Figura 6 se muestra un Ejemplo de un Sistema Lineal que no puede reducirse en primera intención. En este caso es necesario igualar una de las Variables mediante la multiplicación para poder aplicar el Método de Reducción. El proceso puede aplicarse a cualquiera de las variables “X” o “Y”. Lo ideal es aplicarlo con la Variable con la cual nos sintamos mas cómodos.

Igualar las Variables del Sistema Lineal.

Explicado de forma simple lo que se debe hacer es que en ambas Ecuaciones Lineales exista un termino en común que podamos reducir. Para conseguirlo se debe multiplicar ambas o una de las Ecuaciones del Sistema Lineal. Cuando ambas Ecuaciones Lineales no sean múltiplos de sus Variables se deben multiplicar las Ecuaciones por el valor de la incógnita de la otra Ecuación. En este ejemplo reduciremos las Variables “Y”.

Método de Reducción

Figura 7 – Reducción de Variables – Método de Reducción

Como queremos reducir la Variable Y. Pero ambos Incógnitas tienen valores diferentes en nuestro Sistema Lineal. Es necesario igualar sus valores para reducirlas. Para conseguirlo se multiplica la primera Ecuación Lineal por el valor de la Incógnita “Y” de la segunda Ecuación Lineal. Y la segunda Ecuación Lineal la multiplicamos por el valor en negativo de la incógnita “Y” de la primera Ecuación. (Figura 7).

Es importante recordar que cuando se igualan las Ecuaciones por multiplicación se debe colocar uno de los términos en negativo. Esto con el objetivo de poder reducir las Variables en las Ecuaciones resultado.

Simplificar Variables.

Las Ecuaciones Resultado de nuestro Sistema Lineal ahora ya cuentan con una Variable a la que se puede aplicar el Método de Reducción. Por lo que el procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior. Se simplifican los términos en común con signos opuestos y se suman los otros elementos del Sistema Lineal.

Método de Reducción

Figura 8 – Método de Reducción de Sistema 2×2

En la Figura 8 se muestra como se simplifican las Variables en común con signos opuestos. Lo que genera una Ecuación Lineal con una incógnita. La cual es el resultado de la suma de los otros elementos de las Ecuaciones del Sistema Lineal.

Encontrar el valor de la Ecuación Lineal resultado.

Ahora al igual que en el primer ejemplo. Solo debemos resolver la Ecuación Resultado mediante el despeje de variables. En este ejemplo la Ecuación Resultado es 11X = 22.

Método de Reducción

Figura 9 – Solución de Ecuación Lineal resultado.

Al despejar la variable “X” de la Ecuación Resultado del Método de Reducción. Se obtiene una de las variables del Sistema Lineal. En este caso el valor de X es 2.

Encontrar el valor de la otra Incógnita del Sistema Lineal.

Encontrar el valor de la otra incógnita del Sistema Lineal resulta sencillo ahora que ya tenemos una de las incógnitas. Para completar el Sistema Lineal mediante el Método de Reducción solo debemos sustituir el valor encontrado en cualquiera de las Ecuaciones Lineales que componen el Sistema Lineal. Lo ideal es hacerlo en la Ecuación que encontremos mas sencilla. En este ejemplo utilizaremos la primera Ecuación del Sistema Lineal.

Método de Reducción

Figura 10 – Como encontrar el valor de la otra incógnita con el Método de Reducción

En la Figura 10 se muestra la solución de la primera Ecuación Lineal del Sistema Lineal al sustituir el valor de la Incógnita encontrada con el Método de Reducción. Al sustituir el valor de “X” en la Ecuación Lineal 4X+3Y = -1 se obtiene como resultado el valor de Y. En este caso la respuesta es -3. Por lo que se afirma que la respuesta del Sistema Lineal mediante el Método de Reducción es “X” = 2 y “Y” = -3.

Como comprobar el resultado del Método de Reducción.

El proceso para comprobar el resultado obtenido por el Método de Reducción es el mismo que el de cualquier Ecuación Lineal. Para comprobar el resultado se deben sustituir los valores obtenidos y verificar que se cumpla la igualdad.

Sistema Lineal

Figura 11 – Comprobación de respuestas del Sistema Lineal

En este ejemplo la respuesta del Sistema Lineal es X” = 2 y “Y” = -3. Para comprobar si las respuestas son correctas se sustituyen sus valores en las Ecuaciones del Sistema Lineal. (Figura 11)

Método de Reducción

Figura 12 – Comprobando resultado del Método de Reducción

En la Figura 12 se observa la resolución de las Ecuaciones Lineales con los valores obtenidos de las variables. En este ejemplo se cumplen ambas igualdades. Por lo que se puede afirmar que las respuestas obtenidas son correctas.

Método de Reducción en Sistemas Lineales 3×3.

El Método de Reducción funciona tanto para Sistemas Lineales 2×2 como para Sistemas 3X3 o cualquier cantidad de Ecuaciones. El procedimiento a seguir es el mismo. Con la única diferencia, que en Sistemas Lineales 3×3 o mayores se deben obtener Ecuaciones resultantes.

Método de Reducción

Figura 13 – Método de Reducción en Sistema Lineal 3×3

En la Figura 13 se muestra un Sistema Lineal 3×3. Sobre el cual aplicaremos el Método de Reducción. Lo primero que debemos hacer es ordenar las Ecuaciones. En este ejemplo ya se encuentran ordenadas. Posterior debemos nombrar cada Ecuación del Sistema Lineal.

Para resolver un Sistema Lineal 3×3 mediante el Método de Reducción es necesario realizar una suma entre la Ecuación 1 y 2 y posteriormente entre la Ecuación 2 y 3. El objetivo de este proceso es obtener dos Ecuaciones Lineales con solo dos incógnitas.

Método de Reducción entre la Ecuación 1 y Ecuación 2 del Sistema 3×3.

Entonces el primer paso a realizar es aplicar el Método de Reducción entre las Ecuaciones 1 y 2 de nuestro Sistema Lineal 3×3. El proceso a seguir es el mismo ya descrito en el ejemplo anterior.

Método de Reducción

Figura 14 – Método de Reducción entre Ecuación 1 y 2 de Sistema 3×3

En la Figura 14 se muestra el Método de Reducción entre la Ecuación 1 y la Ecuación 2 del Sistema Lineal 3×3. En este caso existía una variable en común con signos opuestos. Por lo que fue posible realizar una simplificación en primera intención. La Ecuación resultante (3x+2z=19) pasara a llamarse Ecuación #4.

Método de Reducción entre la Ecuación 2 y Ecuación 3 del Sistema 3×3.

Ahora debemos repetir el proceso pero entre las Ecuaciones 2 y 3 del Sistema Lineal 3×3. El proceso es el mismo. Debemos obtener una variable en común con signos opuestos para reducir. Sin embargo, La variable a reducir en esta ocasión debe ser la misma que se redujo entre la Ecuación 1 y 2.

Dado que entre la Ecuación 1 y 2 se redujo la variable “Y”. Entre la Ecuación 2 y 3 también deberemos reducir la variable “Y”

Método de Reducción

Figura 15 – Método de Reducción entre Ecuación 3 y 4 de Sistema Lineal 3×3

En la Figura 15 se muestra el Método de Reducción aplicado entre las Ecuación 3 y 4 del Sistema Lineal 3×3. En este caso no existe una variable en común con signos opuestos. Por lo que hay que crearla. Para ello basta con multiplicar la Ecuación #2 por 2. De esta forma conseguimos que la variable “Y” sea simplificable.

Reducción de variable

Figura 16 – Reducción de variable “Y” entre Ecuación 2 y 3

En la Figura 16 se muestra la reducción de la variable “Y” y suma de los otros elementos de las Ecuaciones 2 y 3 del Sistema Lineal 3×3. La Ecuación resultante pasa a denominarse Ecuación #5.

Método de Reducción entre las Ecuaciones Resultantes.

Ecuaciones Resultantes del Sistema Lineal 3x3

Figura 17 – Ecuaciones Resultantes del Sistema Lineal 3×3

Ahora que ya tenemos las Ecuaciones #4 y #5 o también llamadas Ecuaciones Resultantes (Figura 17) podemos comenzar a encontrar el valor de nuestras incógnitas. Para ello es necesario aplicar el Método de Reducción entre ambas Ecuaciones resultantes.

Método de Reducción

Figura 18 – Método de Reducción entre Ecuaciones Resultantes.

En la Figura 18 se muestra el Método de Reducción entre las Ecuaciones resultantes. Como en este caso no existe una variable en común con signos opuestos, es necesario crearla. En este caso elegimos reducir la variable “Z”, aunque también podríamos haber elegido la variable “X”. Para reducir entonces “Z” basta con multiplicar la Ecuación #5 por (-2). De esta forma conseguimos una variable simplificable.

Reducción de la variable "Z"

Figura 19 – Reducción de la variable “Z”

En la Figura 19 se muestra la reducción de la variable “Z” entre las Ecuaciones 4 y 5 del Sistema Lineal. La Ecuación obtenida (7X-0=21) nos servirá para obtener el valor de la incógnita “X”

Obtener el valor de las Incógnitas.

Ahora que ya tenemos una Ecuación Lineal con una incógnita podemos comenzar a obtener el valor de las Incógnitas. En este caso la primera incógnita que podemos despejar es “X”.

Despeje de variable "X"

Figura 20 – Despeje de variable “X”

En la Figura 20 se muestra el despeje de la Ecuación y de la incógnita “X”. En este caso el valor de “X” es 3. Ahora que ya poseemos el valor de “X” podemos encontrar el valor de la segunda incógnita de nuestras Ecuaciones Resultantes. En este caso la segunda incógnita es “Z”. Para encontrar entonces su valor solo debemos reemplazar “X” en la Ecuación #4 o en la #5. En este ejemplo usaremos la Ecuación #5.

Reemplazo de valor de "X"

Figura 21 – Reemplazo de valor de “X” en Ecuación #5

Ahora que tenemos una Ecuación Lineal con una incógnita podemos encontrar el valor de “Z” mediante el despeje de variables.

Despeje de incógnita "Z"

Figura 22 – Despeje de incógnita “Z”

Ahora que ya tenemos el valor de las Incógnitas “X” y “Z” podemos encontrar el valor de “Y”. Si observamos bien para las primeras dos incógnitas solo utilizamos las Ecuaciones Resultantes. Sin embargo, para encontrar la tercera incógnita es necesario reemplazar los valores de “X” y “Z” en cualquiera de las 3 Ecuaciones originales del Sistema Lineal 3×3. En este ejemplo usaremos la Ecuación #1.

Sustitución de X y Z en Ecuaciones #1

Figura 23 – Sustitución de X y Z en Ecuaciones #1

Ahora que hemos obtenido una Ecuación Lineal con una incógnita solo debemos despejar “Y” para encontrar su valor.

Despeje de "Y"

Figura 24 – Despeje de “Y”

Por lo que la respuesta del Sistema Lineal 3×3 mediante el Método de Reducción es: X=3, Y=4 y Z=5.

Ejercicios para aplicar el Método de Reducción.

Ahora que ya hemos dominado el Método de Reducción para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales. Te dejamos algunos ejercicios para aplicar lo aprendido. Tranquilo, en cada ejercicio se encuentra la respuesta y explicación paso a paso del Método de Reducción.

Ejercicio #1 para aplicar el Método de Reducción.

Resuelve el siguiente Sistema de Ecuación Lineal con el Método de Reducción:

Ver respuesta del Ejercicio #1
La respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #1 es:

Ver explicación de como resolver el Ejercicio #1 mediante el Método de Reducción

Este Sistema Lineal es parecido al ejemplo del articulo. A continuación te mostramos paso a paso como aplicar el Metodo de Reducción para resolver el Ejercicio #1

Paso 1: Lo primero es seleccionar la variable a reducir. Dado que en este Sistema Lineal no existe ninguna variable en común con signos opuestos es necesario crearla. Para ello debemos seleccionar una variable y multiplicarla por un numero que nos permita reducirla. En este caso reduciremos la Variable “Y”.

En este caso, basta con multiplicar por (-1) la primera Ecuación del Sistema Lineal. Al realizar esta multiplicación conseguimos que exista una variable en común con signos opuestos.

Paso 2:  Ahora debemos reducir las variables y sumar los otros elementos de las Ecuaciones del Sistema Lineal.

 

Paso 3: Usualmente se debe resolver la Ecuación Lineal resultante para obtener el valor de la Variable. Sin embargo en este caso obtuvimos la respuesta de la Variable “X” solo con la reducción de variables.

Paso 4: Ahora debemos encontrar la otra variable del Sistema Lineal. Para ello debemos escoger una de las Ecuaciones del Sistema Lineal y reemplazar el valor de la Variable encontrada. En este caso utilizaremos la segunda Ecuación Lineal del Sistema. (2X+2Y = 6)

Ahora solo debemos resolver la Ecuación Lineal con una incógnita resultante para obtener el valor de “Y”.

En este caso el valor de la Incógnita “Y” es igual a 1.

Por lo que se puede afirmar que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #1 aplicando el Método de Reducción es:

Ejercicio #2 para aplicar el Método de Reducción.

Resuelve mediante el Método de Reducción el siguiente Sistema de Ecuación Lineal:

Ver respuesta del Ejercicio #2
La respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #2 es:

 

Ver explicación de como resolver el Ejercicio #2 mediante el Método de Reducción

Este Sistema Lineal puede parecer complicado a simple vista por la presencia de una fracción. Sin embargo el proceso de solución es el mismo. A continuación te mostramos paso a paso como aplicar el Método de Reducción para resolver este Sistema Lineal.

Paso 0: Antes de hacer cualquier movimiento debemos ordenar las Ecuaciones del Sistema Lineal. A primera vista parecen ordenadas. Sin embargo, la fracción presente en la primera Ecuación se puede expresar como:

Es importante que se ordenen las fracciones que presentan una Incógnita en nuestro Sistema Lineal. En este caso:

Esto se debe realizar a toda fracción con una incógnita o variable. De lo contrario los cálculos pueden resultar errados.

Paso 1: Ahora que las Ecuaciones del Sistema Lineal están ordenadas debemos seleccionar cual variable deseamos reducir. En este Sistema Lineal no existe ninguna variable en común con signos opuestos. Por lo que es necesario multiplicar una de las Ecuaciones Lineales para conseguir una incógnita o variable simplificable. En este caso reduciremos la variable “X”

En este caso para obtener una variable en común con signos opuestos es necesario multiplicar la primera Ecuación Lineal por (-4). De esta forma ademas de conseguir una variable en común también eliminamos la fracción.

Paso 2: Ahora debemos reducir las variables en común con signos opuestos y sumar los otros elementos de las Ecuaciones del Sistema Lineal.

Paso 3: El resultado tras reducir la variable “X” es una Ecuación Lineal con una incógnita. Para encontrar el valor de la Variable “Y” entonces debemos realizar un despeje de variables.

Paso 4: Ahora que ya tenemos el valor de “Y” podemos encontrar el valor de “X”. Para ello debemos elegir una de las Ecuaciones de nuestro Sistema Lineal y reemplazar el valor de “Y”. Con esto conseguimos obtener una Ecuación lineal  con una incógnita. Y mediante el despeje de variables encortar el valor de “X”. En este caso utilizaremos la segunda Ecuación de nuestro Sistema Lineal. (2X+2Y =12)

Ahora solo debemos resolver la Ecuación Lineal resultante (2X+4=12) para encontrar el valor de la segunda incógnita.

Por lo que el valor de la incógnita “X” es de 4.

Entonces podemos afirmar que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #2 aplicando el Método de Reducción es:

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