Método de Sustitución

Método de Sustitución

El Método de Sustitución es uno de los métodos mas prácticos para resolver los Sistemas Lineales. Al igual que el Método de Igualación y el Método de Reducción su principal objetivo es encontrar el valor de las incógnitas de las Ecuaciones de 2 incógnitas o mas presentes en un Sistema Lineal.

¿Que es el Método de Sustitución?

El Método de Sustitución es un método que sirve para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales. El Método de Sustitución consiste en despejar una variable o incógnita de una de las Ecuaciones del Sistema Lineal. Con el objetivo de reemplazar la incógnita despejada en la otra Ecuación del Sistema Lineal para obtener una Ecuación Lineal simple. Lo que permite llegar a la solución del Sistema Lineal.

En palabras simples. Lo que busca el Método de Sustitución es convertir una de las incógnitas en una Ecuación fácil de resolver. Al despejar una de las Ecuaciones y luego reemplazarla en la otra Ecuación.

Como aplicar el Método de Sustitución.

Para aplicar el Método de Sustitución en un Sistema Lineal debemos escoger una de las Ecuaciones. Lo mas recomendable es elegir la Ecuación mas simple de resolver. Se debe despejar dicha ecuación hasta obtener una expresión con una incógnita. Posteriormente debemos sustituir dicha expresión en la otra Ecuación del Sistema Lineal. El resultado sera una Ecuación Lineal con una incógnita. La cual resolvemos para encontrar la solución del Sistema Lineal.

Método de Sustitución paso a paso.

  • Primero debemos ordenar las Ecuaciones del Sistema Lineal.
  • Despejar una de las Ecuaciones del Sistema Lineal, la mas fácil de preferencia.
  • Se sustituye en la otra Ecuación del Sistema la Expresión Resultante.
  • Despejar la Ecuación Lineal con una incógnita resultante y se obtiene el valor de la primera incógnita.
  • Se reemplaza el valor de la incógnita encontrada en cualquier Ecuación del Sistema Lineal. Lo que nos da el valor de la segunda incógnita.
  • Se comprueban los resultados obtenidos.
Método de Sustitución

Figura 1 – Sistema Lineal 2×2 – Método de Sustitución.

En la Figura 1 se muestra el ejemplo que utilizaremos para explicar el Método de Sustitución. En este caso se trata de un Sistema Lineal 2×2. El primer paso es verificar si ambas Ecuaciones se encuentran ordenadas. En este caso ambas ya están ordenadas.

Despejar una Ecuación del Sistema Lineal.

Para resolver un Sistema Lineal mediante el Método de Sustitución se debe despejar una de las Ecuaciones presentes. Se puede elegir entre ambas Ecuaciones. Lo ideal es utilizar la Ecuación mas simple o la que sea mas fácil de despejar. En este caso utilizaremos la Primera Ecuación del Sistema Lineal. (2X+Y=7).

Se puede despejar tanto “X” como “Y” en la Ecuación. Al igual que antes, lo ideal es utilizar la incógnita mas sencilla de despejar. En este caso es “Y”.
Método de Sustitución

Figura 2 – Despeje de “Y” – Método de Sustitución.

En la Figura 2 se muestra el despeje de “Y” en la primera Ecuación del Sistema Lineal. En este caso como “2X” se encontraba sumando a “Y” al pasarlo al otro lado de la igualdad queda como resta. Por lo que obtenemos una Expresión o Ecuación Resultante Y= 7-2X.

Sustituir en la otra Ecuación la Expresión Resultante.

Ahora que ya despejamos la Primera Ecuación debemos sustituir la Expresión obtenida en la otra Ecuación del Sistema Lineal. En este caso despejamos “Y” por lo que debemos sustituirla en la Segunda Ecuación del Sistema Lineal (X+3Y=11).

Método de Sustitución

Figura 3 – Sustitución de “Y” – Método de Sustitución.

En la Figura 3 se muestra la sustitución de la incógnita “Y” por la Ecuación obtenida en el paso anterior (Expresión Resultante). En este caso la Segunda Ecuación del Sistema Lineal presenta un “3Y”. Por lo que para completar este paso es necesario multiplicar nuestra Ecuación por dicho “3”.

Método de Sustitución

Figura 4 – Método de Sustitución.

En la Figura 4 se muestra la multiplicación de nuestra Expresión Resultante. Dando como respuesta una Ecuación Lineal con dos incógnitas “X”. Las cuales se pueden operar entre si. Convirtiendo la Ecuación en una Ecuación Lineal con una incógnita fácil de despejar.

Método de Sustitución

Figura 5 – Ecuación Lineal con una incógnita resultante – Método de Sustitución.

En la Figura 5 se muestra la operación entre “X” y “-6X”. Recordemos que cuando dos incógnitas tienen la misma letra se pueden operar como cualquier numero natural. En este caso “X” es igual a tener “1X” el cual si lo sumamos con “-6X” nos da “-5X”. El resultado de dicha operación es una Ecuación Lineal con una incógnita. La cual podemos resolver con un simple despeje de variables.

Resolver la Ecuación Lineal con una incógnita resultante.

Para encontrar el valor de la primera incógnita solo debemos despejar la Ecuación Lineal con una incógnita resultante. Lo que hacemos con el despeje de variables.

Método de Sustitución

Figura 6 – Despeje de variable “X” – Método de Sustitución.

En la Figura 6 se muestra el despeje de la variable “X” de la Ecuación Lineal con una incógnita resultante. El resultado de este paso es el valor de la primera incógnita del Sistema Lineal. En este caso es “X=2”.

Encontrar el valor de la Segunda Incógnita.

Ahora que ya tenemos el valor de una de las incógnitas podemos encontrar de forma fácil el valor de la segunda incógnita. Para ello únicamente debemos reemplazar el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las Ecuaciones del Sistema Lineal. Lo mas recomendable es utilizar la Ecuación mas fácil de resolver. En este caso usaremos la primera Ecuación del sistema.

Método de Sustitución

Figura 7 – Despeje de Segunda Incógnita – Método de Sustitución.

En la Figura 7 se muestra el despeje de la Incógnita “Y” sustituyendo el valor de “X”. La respuesta es el valor de la Segunda Incógnita. En este caso “Y=3”.

Por lo que afirmamos que la respuesta del Sistema Lineal utilizando el Método de Sustitución es:

Método de Sustitución

Figura 8 – Respuesta del Sistema Lineal 2×2.

Como comprobar el resultado del Método de Sustitución.

Para comprobar que el resultado obtenido mediante el Método de Sustitución es el correcto debemos sustituir ambas incógnitas en todas las Ecuaciones del Sistema Lineal. La respuesta sera correcta si al sustituir las incógnitas se cumple la igualdad. En este ejemplo entonces seria:

Método de Sustitución

Figura 9 – Comprobación del Método de Sustitución

En la Figura 9 se muestra la comprobación de los valores obtenidos mediante el Método de Sustitución. En este caso en ambas Ecuaciones del Sistema Lineal se cumple la igualdad. Por lo que las respuestas obtenidas son las correctas.

Ejercicios para aplicar el Método de Sustitución.

Es momento de poner en practica lo aprendido. A continuación te dejamos algunos ejercicios para resolver mediante el Método de Sustitución. Tranquilo, cada ejercicio tiene su respectiva respuesta y explicación paso a paso por si la necesitas.

Ejercicio #1 para resolver con el Método de Sustitución.

Resuelve el Sistema de Ecuación Lineal utilizando el Método de Sustitución:

Ver respuesta del Ejercicio #1
La respuesta del Ejercicio #1 es:

Explicación paso a paso de como resolver el Ejercicio #1 con el Método de Sustitución

Este ejercicio también esta explicado con el Método de Igualación.

Paso 1: El primer paso en toda resolución de un Sistema Lineal es verificar que las Ecuaciones del mismo se encuentren ordenadas. En este caso ambas Ecuaciones están ordenadas.

Paso 2: Para resolver un Sistema Lineal mediante el Método de Sustitución debemos despejar una de las Ecuaciones. Lo ideal es hacerlo con la Ecuación mas simple. En este caso usaremos la Ecuación #1.

Recuerda que puedes despejar cualquiera de las Incógnitas “X” o “Y”. Para despejar “X” en este caso solo debemos pasar el “+2Y” al otro lado de la igualdad. Por lo que pasa como “-2Y”.

Paso 3: Ahora debemos sustituir la incógnita despejada en la otra Ecuación del Sistema Lineal.

Paso 4: Ahora debemos operar las incógnitas en común como si de números naturales se tratase. En este caso se debe resolver primero el paréntesis. Por lo que queda:

Y al operar las incógnitas en común obtenemos una Ecuación Lineal con una incógnita:

Se debe tener especial cuidado con los signos. En este caso estamos operando “-4Y” sumando a “2Y”. Por lo que el resultado de la operación es en realidad “-2Y”.

Paso 5: Ahora solo queda resolver la Ecuación Lineal con una incógnita resultante y podremos encontrar el valor de la primera incógnita del Sistema Lineal.

Por lo que en este ejercicio el valor de “Y” es de 1.

Paso 6: Para encontrar el valor de la segunda incógnita solo debemos reemplazar el valor de la incógnita encontrado en cualquiera de las Ecuaciones del Sistema Lineal. En este ejercicio lo mas simple es usar la Ecuación #1 del Sistema Lineal.

Por lo que podemos afirmar que la respuesta del Ejercicio utilizando el Método de Sustitución es:

Ejercicio #2 para aplicar el Método de Sustitución.

Resuelve el siguiente Ejercicio aplicando el Método de Sustitución:

Ver respuesta del Ejercicio #2
La respuesta del Ejercicio #2 es:

Explicación paso a paso de como resolver el Ejercicio #2 con el Método de Sustitución

Este ejercicio también esta explicado con el Método de Reducción.

Paso 1: El primer paso para resolver este Sistema Lineal es ordenar las Ecuaciones. A simple vista parecen ordenadas, pero no lo están. Recuerda que para evitar errores de calculo es necesario expresar la fracción con la incógnita “X” de la siguiente forma:

Es importante que se ordenen las fracciones que presentan una Incógnita en nuestro Sistema Lineal. En este caso:

Esto se debe realizar a toda fracción con una incógnita o variable. De lo contrario los cálculos pueden resultar errados.

Por lo que el Sistema Lineal ordenado queda de la siguiente forma:

Paso 2: Para resolver este Sistema Lineal mediante el Método de Sustitución debemos despejar una de las Ecuaciones. En este caso despejaremos la Segunda Ecuación

Podíamos despejar tanto “X” como “Y” pero en este caso despejamos “Y” para evitar la fracción de “X” de la Primera Ecuación.

Paso 3: Ahora sustituimos la Expresión resultante en la misma incógnita despejada de la Primera Ecuación:

En este caso es necesario resolver la multiplicación. Por lo que queda:

Paso 4: Ahora es necesario eliminar ambas fracciones. Para ello multiplicamos ambos lados de la igualdad por el denominador en común. En este caso es 2.

Operamos las incógnitas iguales y obtenemos una Ecuación Lineal con una incógnita.

Paso 5: Despejamos la Ecuación Lineal con una incógnita y obtenemos el valor de la primera variable.

En este caso el valor de “X” es 4.

Paso 6: Ahora encontramos el valor de la Segunda Incógnita. Para ello solo reemplazamos el valor de “X” en cualquiera de las Ecuaciones del Sistema Lineal. En este caso es mas fácil reemplazar “X” en la Ecuación #2.

En este caso el valor de “Y” es 2.

Por lo que afirmamos que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #2 utilizando el Método de Sustitución es:

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